裏声のコントロールは、とても難しいものです。なので裏声で歌うのでしたら、発声の訓練が必要になります。なので、「曲に声を合わせるのではなく、合った曲を選択するor曲を自分の声に合った音程に設定する」方が早いと思います。
そして「歌手の方に合わせて歌ってると外れないけど、カラオケで伴奏だけで歌ってると外れる」というのは、メロディラインを完全に理解出来てない可能性が高いです。音取りが正確にできていないのかな、と思います。音取りは耳で聴くだけではなく、楽譜を見ながら鍵盤を叩いて、声に出して練習するのがベストです。
人前で歌う事を前提にするのであれば、まずは己の声の特徴を掴みましょう。自分の得意な音域、苦手な音域、出る音域、出ない音域、速い曲が得意か遅い曲が得意か…。そしてそれらを把握したら、「人前で歌う曲」を決めましょう。自分の得意な音域にぴったり合う曲を見つけられれば良いですが、そうでなくても最近のカラオケの機械は設定で音域を上げたり下げたりも出来るはずですので、自分に合った音域に上げたり下げたりしましょう。
曲を決めたら、メロディラインを自分の頭と身体に叩き込みましょう。楽譜を見て単音で鍵盤を弾き声に出し、（楽譜を読んだり鍵盤を弾くのが難しければ、音源を流した後に一時停止して、その後に歌手の声をなぞるように歌ってみるのも良いと思います）正確なメロディラインを把握し、寝言でも正確に歌えるようになるまで、ひたすらメロディを口に出して歌うのです。
メロディラインの把握が完了したら、カラオケ伴奏に合わせてみるのです。テンポとリズム、伴奏がどんな音を出してるか、伴奏のメロディはどんなものか、それを知ります。
そうしてから、歌い込みます。ひたすら伴奏と合わせて歌い込みます。伴奏と歌が合わさるとどんな曲になるのか、前奏明け、間奏に入るタイミングと終わるタイミング、後奏、それらを感覚で理解でき反射で歌えるようになるまで歌い込みます。
自分の声の特徴を知り、自分に合った音程の曲を選ぶか自分に合った音域に伴奏の設定をし、声に出してメロディラインを完全に把握し、伴奏をきちんと覚え、歌い込む。
そうすれば、その曲は他人の前で歌っても何ひとつ恥ずかしさなど感じない出来となるでしょう。