家庭裁判所の許可書をもらって名前の変更を行うのは15歳から可能です。15歳以下なら両親に言って変更をしてもらうと良いです。
ただし一度しか取れないので慎重に行ってください。2度目は受理されない場合が多いです。
名前の漢字をそのままにして読み方を変えるだけなら戸籍のある市役所で可能です。
桃（ピーチ）をモモへ変更
光（シャイン）をひかるへ変更
みたいな読み方を変える事は市役所で可能です。